2012中考数学考点倍角三角形-中考-中考数学-铁岭中考-铁岭中考数学-出国留学-学堂网

标题

2012中考数学考点倍角三角形

类别

中考-中考数学-铁岭中考-铁岭中考数学

内容

    倍角三角形中的一个结论
    湖北省黄石市下陆中学　宋毓彬

    例1（天津市中考题）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对应的边分别用a、b、c表示。
    ⑴如图1，在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°。求证：a²=b（b+c）
    ⑵如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”。本题第一问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角△ABC，如图2，∠A=2∠B，关系式a²=b（b+c）是否仍然成立？并证明你的结论。
    　

    ?
    分析：⑴在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°，△ABC为Rt△，∠C=90°。
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    证法1：Rt△ACB中a=c，b=c，
    所以a²=（c）²=
    ，b（b+c）=c（c+c）=，
    所以a²=b（b+c）。
    ⑵对于任意的倍角△ABC，∠A=2∠B，关系式a²=b（b+c）仍然成立。
    如图2，延长BA至D，使AD=AC=b，连CD。
    则∠CAB=2∠D，∴∠B=∠D，BC=CD=a，
    由△ADC∽△CDB?? ，即。
    所以a²=b（b+c）。
    ?
    由以上的证明，可以得到关于倍角三角形的一个结论：一个三角形中有一个角等于另一个角的两倍，2倍角所对边的平方等于一倍角所对边乘该边与第三边的和。
    （例2中另外两种证法同样可证得a
    ²=b（b+c）。）
    ?
    例2(2009年全国初中数学联赛)在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的2倍，且AB=7，AC=8。则BC=（?? ）
    （A）7?? （B）10?? （C）??? （D）7
    ?
    分析：此题由例1中的结论，则BC²=7（7+8）=105，所以BC=
    。
    ?
    以下还可以提供几种解法供参考。
    解法一：分割法。
    如图1，作∠CAB的平分线AD交BC于D。

    △ABC∽△DBA， ==，
    ∴解得∴ x+y=。
    ?
    评析：解法一的思路是常规思路，平分倍角构造相似三角形，通过相似比得到方程组求出线段长，进而求出BC的长。但这种方法中，二元二次方程组的计算较为复杂。
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    解法二：构造法。
    如图2，延长CA至点D，使AD=AB。

    则∠D=∠ABD=∠CAB=∠C，
    △CBD∽△DAB，=，
    ∴BD²=AB·CD=7×（8+7）=105，BD=，
    又∠C=∠D，∴BC=BD=。
    ?
    评析：利用二倍角为外角构造等腰三角形也是常见的作辅助线的技巧。BD为相似三角形比例中项，与方法一相比，计算相对简单。
    ?
    解法三：综合法
    作∠CAB的平分线AD交BC于D。作BE∥AD。
    　　

    △ADC∽△BAE，=，①
    △ADC∽△EBC，=，②
    ①×②，=，（x+y）²=7×15，x+y=
    。
    解析：由△ADC∽△BAE，BE∥AD，方法三事实上已将方法一、方法二统一了起来。所反映的本质是相同的。

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