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| 标题 | 高考数学模拟试题及答案：数列 | |||||||||||||||
| 类别 | 高考-高考数学 | |||||||||||||||
| 内容 |
出国留学网高考网为大家提供高考数学模拟试题及答案：数列，更多高考资讯请关注我们网站的更新! 高考数学模拟试题及答案：数列 1．(2015·四川卷)设数列{ an}(n＝1,2,3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列。 (1)求数列{an}的通项公式； (2)记数列an(1)的前n 项和为Tn，求使得|Tn－1|<1 000(1)成立的n的最小值。 解 (1)由已知Sn＝ 2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)。 从而 a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1。 又因为a1， a2＋1，a3成等差数列， 即a 1＋a3＝2(a2＋1)。 所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2。 所以，数列{an}是首项为 2，公比为2的等比数列。 故an ＝2n。 (2) 由(1)得an(1)＝2n(1)。 所以Tn ＝2(1)＋22(1)＋…＋2n(1)＝2(1)＝1－2n(1)。 由 |Tn－1|<1 000(1)，得－1(1)<1 000(1)， 即2n>1 000。 因为29＝512<1 000<1 024＝210 ，所以n≥10。 于是，使|Tn－ 1|<1 000(1)成立的n的最小值为10。 2．(2015·山东卷)设数列{a n}的前n项和为Sn。已知2Sn＝3n＋3。 (1)求{a n}的通项公式； (2)若数列{b n}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn。 解 (1)因为 2Sn＝3n＋3，所以2a1＝3＋3，故a1＝3， 当n>1时，2Sn－1＝3n－1＋3， 此时2an ＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，即an＝3n－1， 又因为 n＝1时，不满足上式，所以an＝3n－1，n>1。(3，n＝1，) (2)因为a nbn＝log3an，所以b1＝3(1)， 当n>1时，bn＝31－nlog33n－1＝(n－1)·31－n。 所以T1＝ b1＝3(1)； 当n>1时，T n＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝3(1)＋(1×3－1＋2×3－2＋…＋(n－1)×31－n)， 所以3Tn ＝1＋(1×30＋2×3－1＋…＋(n－1)×32－n)， 两式相减，得2Tn＝ 3(2)＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n－1)×31－n＝3(2)＋1－3－1(1－31－n)－(n－1)×31－n＝6(13)－2×3n(6n＋3)，所以Tn＝12(13)－4×3n(6n＋3)。经检验，n＝1时也适合。 综上可得T n＝12(13)－4×3n(6n＋3)。 3.(2015· 天津卷)已知数列{an}满足an＋2＝qan(q为实数，且q≠1)，n∈N*，a1＝1，a2＝2，且a2＋a3，a3＋a4，a4＋a5成等差数列。 (1)求q的值和{an }的通项公式； (2)设bn ＝a2n－1(log2a2n)，n∈N*，求数列{bn}的前n项和。 解 (1) 由已知，有(a3＋a4)－(a2＋a3)＝(a4＋a5)－(a3＋a4)，即a4－a2＝a5－a3， 所以a 2(q－1)＝a3(q－1)。又因为q≠1，故a3＝a2＝2，由a3＝a1·q，得q＝2。 当n＝2k－1(k∈N*)时，an＝a2k－1＝2k－1＝22(n－1)； 当n ＝2k(k∈N*)时，an＝a2k＝2k＝22(n)。 所以，{an }的通项公式为an＝，n为偶数。(n) (2)由(1)得b n＝a2n－1(log2a2n)＝2n－1(n)。设{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝1×20(1)＋2×21(1)＋3×22(1)＋…＋(n－1)×2n－2(1)＋n×2n－1(1)， 2(1)Sn＝1×21(1)＋2×22(1)＋3×23(1)＋…＋(n－1)×2n－1(1)＋n×2n(1)， 上述两式相减，得2(1)Sn ＝1＋2(1)＋22(1)＋…＋2n－1(1)－2n(n)＝2(1)－2n(n)＝2－2n(2)－2n(n)， 整理得，Sn＝4－2n－1(n＋2)。 所以，数列{b n}的前n项和为4－2n－1(n＋2)，n∈N*。 4．(2015· 合肥质检)已知函数f(x)＝x＋x(1)(x>0)，以点(n，f(n))为切点作函数图像的切线ln(n∈N*)，直线x＝n＋1与函数y＝f(x)图像及切线ln分别相交于An，Bn，记an＝|AnBn|。 (1)求切线ln的方程及数列 {an}的通项公式； (2) 设数列{nan}的前n项和为Sn，求证：Sn<1。 解 (1)对f (x)＝x＋x(1)(x>0)求导，得f′(x)＝1－x2(1)， 则切线l n的方程为y－n(1)＝n2(1)(x－n)， 即 y＝n2(1)x＋n(2)。 易知 Ann＋1(1)，Bnn2(n－1)， 由 an＝|AnBn|知an＝n2(n－1)＝n2(n＋1)(1)。 (2)证明：∵ nan＝n(n＋1)(1)＝n(1)－n＋1(1)， ∴Sn＝ a1＋2a2＋…＋nan＝1－2(1)＋2(1)－3(1)＋…＋n(1)－n＋1(1)＝1－n＋1(1)<1。 5．已知等差数列{an} 的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列。 (1)求数列{a n}的通项公式； (2)令b n＝(－1)n－1anan＋1(4n)，求数列{bn}的前n项和Tn。 解 (1)因为S1 ＝a1，S2＝2a1＋2(2×1)×2＝2a1＋2， S4＝ 4a1＋2(4×3)×2＝4a1＋12， 由题意得(2a1＋2) 2＝a1(4a1＋12)， 解得 a1＝1，所以an＝2n－1。 (2) bn＝(－1)n－1anan＋1(4n)＝(－1)n－1(2n－1)(2n＋1)(4n) ＝ (－1)n－12n＋1(1)。 当n为偶数时， Tn＝3(1 )－5(1)＋…＋2n－3(1)＋2n－1(1)－2n＋1(1)＝1－2n＋1(1)＝2n＋1(2n)。 当n为奇数时， Tn＝3(1)－5(1)＋…－2n－3(1)＋2n－1(1)＋2n＋1(1)＝1＋2n＋1(1)＝2n＋1(2n＋2)。 所以Tn＝ ，n为偶数。(2n)或Tn＝2n＋1(2n＋1＋(－1)n－1) 6．(2015·杭州质检)已知数列 {an}满足a1＝1，an＋1＝1－4an(1)，其中n∈N*。 (1)设bn＝ 2an－1(2)，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式； (2) 设cn＝n＋1(4an)，数列{cncn＋2}的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得Tn<cmcm＋1(1)对于n∈N*恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由。 解 (1) ∵bn＋1－bn＝2an＋1－1(2)－2an－1(2) ＝－1(1) －2an－1(2) ＝ 2an－1(4an)－2an－1(2)＝2(常数)， ∴数列{b n}是等差数列。 ∵ a1＝1，∴b1＝2， 因此bn＝2＋(n－1)×2＝2n， 由bn ＝2an－1(2)得an＝2n(n＋1)。 (2) 由cn＝n＋1(4an)，an＝2n(n＋1)得cn＝n(2)， ∴cnc n＋2＝n(n＋2)(4)＝2n＋2(1)， ∴Tn＝21－3(1)＋2(1)－4(1)＋3(1)－5(1)＋…＋n(1)－n＋2(1) ＝ 2n＋2(1)<3， 依题意要使 Tn<cmcm＋1(1)对于n∈N*恒成立，只需cmcm＋1(1)≥3， 即4(m(m＋1))≥3， 解得m≥3 或m≤－4，又m为正整数，所以m的最小值为3。 ? 小编精心为您推荐： 高考数学第二轮复习计划 ?? 高中数学错题10个原因分析及解决方案? 高考数学答题技巧：审题慢 做题快?? 高考数学冲刺复习：70个易错点
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